18. Sıra Sizde Gölge Problemi Çözümlü
- sınıf matematik ders kitabı sayfa 83’teki 18. “Sıra Sizde” sorusunun çözümü detaylı olarak açıklanmaktadır. Soruda, A ve B direkleri üzerindeki lambaların oluşturduğu gölgeler inceleniyor. Gölge boyunun (KL = KM) 3 metre olduğu, A direğine olan uzaklığın (t) ise 6 metre olduğu bulunuyor. Benzerlik ve orantı kavramları kullanılarak çözüme ulaşılıyor. İkinci kısımda ise, Necati’nin B direğine doğru yürürken gölgesinin B’nin ötesine geçmemesi için en fazla ne kadar yürüyebileceği hesaplanıyor. Necati’nin başlangıçta A direğine 6 metre uzaklıkta olduğu ve en fazla 6 metre daha yürüyebileceği, yani A direğine maksimum 12 metre uzaklıkta olabileceği sonucuna varılıyor. Bu çözüm, gölge problemleri ve geometrik orantı konularını anlamak için önemli bir örnek teşkil ediyor.
18. Sıra Sizde: Gölge Problemi – Çözümlü Anlatım
9. Sınıf Matematik (MEB 2. Kitap) – Sayfa 83 | 18. Sıra Sizde (İşlemli Çözüm)
Verilenler
- |AB| = 18 m
- A direği lambası: 6 m
- B direği lambası: 10 m
- Necati boyu: 2 m
- K noktasında gölgeler eşit: |KL| = |KM| = s
- A’dan K’ya uzaklık: |AK| = t (bilinmiyor)
Önemli: Şekilde K’nin sağındaki gölge (KM) A’daki lambadan, K’nin solundaki gölge (KL) B’deki lambadan oluşur.
a) Gölge boyu kaç metredir? (|KL| = |KM| = ?)
1) A lambasının oluşturduğu sağ gölge (KM)
A lambasının yüksekliği 6, Necati’nin boyu 2.
Benzerlikten (aynı ışın doğrusu):
- A tepesinden (6 m) Necati tepesine (2 m) inen yükseklik farkı: 6 − 2 = 4
- A tepesinden yere inen yükseklik: 6
Orantı:
- (6 − 2) / t = 6 / (t + s)
- 4 / t = 6 / (t + s)
İçler-dışlar:
- 4(t + s) = 6t
- 4t + 4s = 6t
- 4s = 2t
- s = t/2
2) B lambasının oluşturduğu sol gölge (KL)
B lambasının yüksekliği 10, Necati’nin boyu 2.
Orantı (B’den K’ya uzaklık 18 − t, B’den gölge ucuna uzaklık 18 − (t − s) = 18 − t + s):
- (10 − 2) / (18 − t) = 10 / (18 − t + s)
- 8 / (18 − t) = 10 / (18 − t + s)
İçler-dışlar:
- 8(18 − t + s) = 10(18 − t)
- 144 − 8t + 8s = 180 − 10t
- 8s + 2t = 36
- 4s + t = 18
Şimdi s = t/2’yi yerine yazalım:
- 4(t/2) + t = 18
- 2t + t = 18
- 3t = 18
- t = 6
Gölge: s = t/2 = 6/2 = 3
|KL| = |KM| = 3 m
b) Necati B’ye doğru yürürken gölgesi B’nin diğer tarafına geçmesin. En fazla kaç m yürüyebilir?
Necati B’ye doğru yürüdükçe t artar.
A lambasının oluşturduğu sağ gölge için bulduğumuz bağıntı her konumda geçerliydi: s = t/2
Sağ gölge ucu M noktası:
- AM = AK + KM = t + s
- AM = t + (t/2) = (3/2)t
Gölgenin B’nin diğer tarafına geçmemesi için M, B’yi geçmemeli, yani:
- AM ≤ AB
- (3/2)t ≤ 18
- t ≤ 18 × 2/3
- t ≤ 12
Başlangıçta t = 6 idi. En fazla t = 12 olabilir:
Yürüme mesafesi = 12 − 6 = 6
En fazla yürüyebileceği mesafe: 6 m
